这些悖论被称为语义悖论,动摇了数学大厦的基础,引发了第三次数学危机。
前两次数学危机,第一次发生于古希腊时期。
毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现边长为一的正方形对角线的长度,既不是整数,又不是两个整数的比。
当时的古希腊数学家不知道根号二,更不知道世界上还有无理数这种东西存在。
解决不了这个问题的他们,最终选择解决提出问题的人:
他们把希帕索斯扔到爱琴海里喂了鲨鱼。
第二次数学危机,萌芽于古希腊的芝诺悖论,阿基里斯能不能追得上乌龟,运动的箭矢到底是动还是不动?
古希腊人第一次接触到了无穷小带来的问题,而这次数学危机真正爆发,则是到了牛顿和莱布尼茨的年代。
他们两个人发明了用起来很方便的微积分,只是有一个问题,微积分中的无穷小量,到底是不是零?
无穷小量可能会出现在分母上,所以它就不应该为零。
可如果把无穷小量看成是零,去掉那些包含它的项,得到的公式能在力学和几何学当中的证明是正确的。
当时有人批评微积分是“恶魔的把戏”,是“用双重的错误,偶然得到了科学但不正确的结果”。
这次危机直到十九世纪,以柯西为首的数学家们,完善了极限的具体概念之后,才最终得以解决。
至于这些由悖论引发的第三次数学危机,反倒是解决得最快的一次。
德国数学家恩斯特·策梅洛和亚伯拉罕·弗兰克尔·分别在1908年和1922年提出来了两套理论,这两套理论加在一起,就成为了z(erlo,策梅洛)-f(raenkel,弗兰克尔)公理体系。
这个公理体系将集合的构造公理化,来排除了像罗素悖论中这样的集合的存在性,算是解决了这场数学危机。
也就是在同一年,希尔伯特想到为已经爆发了三次的数学危机,找到一种普适的解决方案。
他提出了一个名为希尔伯特计划的想法,提出将所有现有理论都建立在一组有限的完备的公理上,并给出这些公理是一致的证明。
希尔伯特希望数学是完整的,也是可判定的,希望数学建立在严谨的逻辑之上,是世界上最无懈可击的真理。
希尔伯特计划中有这样一条,也就是所谓的完备性,人们可以从公理出发,推导出所有的定理来。
如果推导不出来,那不是上面这条完备性出了问题,而是个人能力出了问题。
公理是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识,并作为判定其它命题真假的根据,不能被证明也不需要被证明。
而定理,则是从公理出发,用推理方法得到的真命题。
希尔伯特是当今世界上最伟大的数学家,他的话一言九鼎,很有号召力。
从他提出这个计划开始,数学家们就一直坚信这个计划是正确的,也都一直在试图证明它是正确的。
只是很多年过去,数学家们谁也没能得到这个证明。
在原时空直到1931年,才被哥德尔证明了另外一点,在一个公理系统中,总有至少一个命题是不能证明是真是假的,想要证明或者证伪这些命题,就必须要使用到系统之外的新公理。
这是哥德尔不完备性第一定理,这个定理的出现,也就算是彻底否定了希尔伯特计划,粉碎了希尔伯特和所有数学家们的梦想。
希尔伯特的本意是彻底解决数学危机,没想到却差点推倒了数学大厦的地基。
此哥德尔,正是那个求解爱因斯坦引力场方程,解出来了支持时空旅行哥德尔宇宙的那一位。
陈慕武因为哥德尔宇宙了解了这个人,也就自然知道了他提出来的两个不完备性定理。
听到玻尔话里提出来的不完备,他就联想到了这个定理,也联想到了希尔伯特这位数学家。
陈慕武对希尔伯特没有多大的偏见,只是他很清楚地记得希尔伯特曾经说过一句话,“物理对于物理学家们来说,实在是太难了”。
他的本意是说,现代的物理学虽然高度依赖高等数学,可是却一直都使用的不太严谨。
但是这句话从一个数学家嘴里面说出来,让一个学物理的人听到还是很不爽。
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